Para migrar seus emails da sua antiga hospedagem você vai precisar de:

Usuário de email você@suaempresa.com.br
Senha do usuário de email
IP do servidor ou nameserver caso você já tenha alterado as DNS do seu domínio
Configurações e portas de acesso ao email da antiga hospedagem

Acesse seu painel Plesk e vá para: Websites e Domínios/Correio Eletrônico/Importação de Email

Clique em Importar mensagens de email

Preencha dos dados

• Email de Origem ( usuário de email na hospedagem de origem )
• Senha de Origem ( senha do email na hospedagem de origem )
• Importar para ( criar uma nova conta de emails ou para uma conta existente )
• Email de destino ( email para qual deseja migrar as mensagens )
• Host IMAP de origem ( aqui você insere o endereço de IP da antiga hospedagem, nameserver ou domínio se ainda não alterou as DNS )
• Porta IMAP de origem ( normalmente é a porta 993 )
• Criptografia ( caso o automático não funcione, você pode desativar )
• Tempo limite de IMAP ( útil aumentar se o tempo de conexão for muito lento )
• Separador de pasta IMAP ( deixe em branco )

Feito isso, basta clicar em Tudo Bem, seus emails começaram a ser importados.